]> 3. 4. Изменение скорости спонтанного излучения атома в замкнутом пространстве
 
Домой Взаимодействие атомов с частицами и веществом>> Разделы Список литературы Обозначения Справочник


3.Взаимодействие излучения с атомами и молекулами

3.4.Изменение скорости спонтанного излучения атома в замкнутом пространстве

Предыдущий Взаимодействие излучения с атомами и молекулами Следующий

Согласно [1] скорость спонтанного распада возбужденного состояния атома пропорциональна плотности мод электромагнитного поля на частоте атомного перехода ω if

gf Ω ωif23 πc3(175)
где Ω - объем пространства.

Если атом находится не в свободном пространстве, для которого

Ω, а например, в резонаторе, то континуум мод превращается в спектр дискретных мод, одна из которых может быть в резонансе с атомом. Скорость спонтанного излучения атома в этом случае будет уже определяться плотностью осцилляторов электромагнитного поля в моде резонатора
gcQ π ωc(176)
где Q - добротность, ω c - собственная частота резонатора.

Таким образом, выражение для вероятности спонтанного перехода (141) должно быть переписано в виде

Rifc=Rif0gcgfRif0Q3πc3Ωω3Rif03Qλ38π2Ω(177)
где использовано λ=2 πc/ ω и ω if ≈ ω c. Формула (177) предсказывает значительное увеличение вероятности спонтанного распада при переходе от свободного пространства к высокодобротному резонатору, когда длина волны сравнима с линейными размерами резонатора. Например, при λ 3∼ ΩReifcReifo ·Q, т.е. может возрастать примерно в Q раз.

Однако, если резонатор расстроен ω ifω c, можно ожидать, что вероятность излучения должна уменьшиться, т.е. атом не может излучить фотон, поскольку резонатор не в состоянии его принять.

Для того чтобы изменить скорость распада атомного состояния, наличие резонатора не обязательно. Любая проводящая поверхность вблизи излучателя влияет на плотность мод и, следовательно, на скорость спонтанного излучения. В экспериментах, в которых наблюдается рост спонтанного излучения, большое число атомов в объеме Ω может исказить эксперимент вследствие возможного вынужденного излучения. Поэтому в подобных опытах используется система с одним атомом в объеме Ω резонатора [9].

Эксперименты, в которых подавляется спонтанное излучение, могут быть проведены и с большим числом атомов. Так, подавление спонтанного излучения впервые наблюдалось в тонкой пленке красителя, нанесенного на поверхность зеркала. Благодаря образованию конфигурации стоячих волн вблизи поверхности при интерференции падающей и отраженной волн наблюдалось уменьшение вероятности спонтанного распада [9].

В экспериментах [9] наблюдалось увеличение вероятности спонтанного излучения высоковозбужденных атомов Na (главное квантовое число n ≈23), помещенных в ниобиевый сверхпроводящий резонатор с добротностью Q ≈ 10 4 ÷ 10 13. Переходы между уровнями с большим n имеют большую длину волны, что облегчает возможность выполнения условия λ 3∼ Ω.

Таким образом, в настоящее время имеется широкий набор экспериментальных данных, подтверждающих факт влияния ограниченного объема на спонтанное излучение [10, 11].

Следуя работе [9], мы рассмотрим теорию спонтанного излучения в ограниченных объемах. Для краткости изложения все промежуточные выкладки будут опущены. Читатель может ознакомиться с ними в в работе [9].

Рассматривается следующая модель (Вайскопфа - Вигнера): двухуровневый атом взаимодействует с осциллятором поля, который в свою очередь взаимодействует с системой, имеющей непрерывный спектр поглощения. Осциллятор описывает моду резонатора, ближайшую по частоте к двухуровнему атому. Взаимодействие осциллятора с системой с непрерывным спектром (стенки резонатора) учитывает затухание электромагнитной волны в резонаторе.

Гамильтониан такой сложной системы имеет вид

H^=H^a+H^c+H^w+U^+V^(178)
где H^a- собственная энергия атома, H^- энергия осциллятора, H^w- энергия поглощающей системы (стенок резонатора), U^- потенциал взаимодействия атома с осциллятором, V^- взаимодействие осциллятора с поглотителем. Состояние совокупной системы описывается тремя индексами |а, с, w>. Первый индекс указывает на состояние атома, второй - осциллятора, третий - стенок. Возможны три основных состояния.

  • |1,0,0> - атом возбужден, осциллятор в основном состоянии, стенки не возбуждены. Энергия этого состояния системы равна энергии возбужденного атома W a=ℏ ω a. H^a|1,0,0=Wa|1,0,0, H^c|1,0,0=0.
  • |0,1,0> - атом в нижнем состоянии с W a = 0. Осциллятор в первом возбужденном состоянии, стенки не возбуждены. Энергия этого состояния W c =ℏ ω, где ℏ ω - собственная частота резонатора.
    H^a|0,1,0=0;H^c|0,1,0=Wc|0,1,0
  • |0,0,1 ω> - атом в нижнем состоянии, осциллятор в основном состоянии, стенки поглотили фотон с частотой ω. Энергия этого состояния W ω = ℏ ω.

Волновую функцию системы Ψ(t) ищем в виде суперпозиции указанных волновых функций:

Ψ(t)=A(t)exp(-i ωat)|1,0,0+B(t)exp(-i ωct)|0,1,0+
+ ωC ω(t)exp(-i ωt)|0,0,1 ω
Поскольку стенки могут поглотить любой фотон, то третье состояние является фактически набором состояний. Для нахождения коэффициентов A (t), B(t) и C ω(t) методом теории возмущений решается уравнение Шредингера
i Ψt=H^ Ψ(179)
где учитьшается, что основные волновые функции являются собственными функциями операторов H^a,H^c,H^w и ортогональны между собой.

В результате имеем

idAdt=Uexp[i( ωa- ωc)t] ·B+i δ(t)
idBdt=U*exp[-i( ωa- ωc)t] ·A+ ωV ωexp[i( ωc- ω)t] ·C ω(180)
idC ωdt=V*exp[-i( ωc- ω)t] ·B
В этих уравнениях U и V ω - матричные элементы операторов возмущений
U=0,1,0|U^|1,0,0;V ω=0,0,1 ω|V^|0,1,0,(181)
δ(t) учитывает начальное состояние системы, атом в возбужденном состоянии возникает в момент времени t=0.

Отметим, что операторы U^ и V^ не диагональны в выбранном представлении

U^|1,0,0=Ua|0,1,0;
U^|0,1,0=U*a|1,0,0(182)
V^|0,1,0=Va|0,0,1 ω
V^|0,0,1 ω=V*a|0,1,0
Система (180) решается методом преобразования Лапласа. Не останавливаясь на деталях, рассмотрим результаты решения.

Случай 1.В начале рассмотрим частный случай взаимодействия атома с континуумом осцилляторов поля свободного пространства. Тогда C ω(t)0 и собственные значения Н c равны nk,e ωk, соответствующие плоским волнам с плотностью фотонов nk,e, с волновым вектором k и поляризацией e. В волновой функции должен появиться дополнительный совокупный индекс α(k,e)|0,1 α,0.

Предположим, что взаимодействие атома с полем дипольное:

U^=-d^E^.
Для вычисления матричных элементов оператора взаимодействия U^ используется стандартная техника квантовой электродинамики (см. раздел 3.1), т.е. поле разлагается в ряд по плоским волнам (127). Задача вычисления U a связана с вычислением матричных элементов типа (de)eikra^k, α(см. (138), (139)), где операторы a^k, α, являясь коэффициентами разложения поля (127), имеют матричные элементы, отличные от нуля только при переходах, связанных с рождением для a^*k, α и гибели (для a^k, α) фотонов (137).

Окончательно имеем

A(t)=exp(- γt)
B α(t)=U*ai1-exp{-[i( ωa- ωc, α)+ γ]t} γ+i( ωa- ωc, α), (183)
где γ=2d2 ωa33c3.

Вероятность спонтанных переходов в единицу времени Rea определяется соотношением

Re α=-d|A|2|A|2dt=2 γ=4d2 ωa33c3, (184)
Распределение испущенных фотонов по частоте
|B α|2gf( ω α)dO= γ π[ γ2+( ωa- ωc, α)2], (185)
где g f( ω a) - плотность состояний в пространстве.

Таким образом, как вероятность излучений (184), так и ширина спектра (185) совпадают с полученными ранее (142, 156).

Случай 2.Затухание энергии в резонаторе A(t) = 0. (Атом не участвует в задаче.) В начальный момент резонатор находится в первом возбужденном состоянии, а поглотитель (стенка) - в основном (не возбужденном) состоянии.

Решение системы (180) очевидно:

B(t)=exp[-( γc+i( ωc- δc))t], (186)
где
γc= π|V ωc|2g( ωc)2,
g( ω c)- плотность состояний в поглотителе, δ - сдвиг частоты резонатора.

Величина γ определяет добротность резонатора Q= ωc2 γc

Случай 3.Скорость спонтанного распада атома в резонаторе. В задаче существует константы скорости γ и Ua, определяющие затухание поля в резонаторе ( γ c) и распад атомной системы (Ua).

В предположении γc > >|U α| из решения системы (180) получим

Reαc=3λ3Reα08π2Ωωc2/Q(ωc-ωa)2+ωc2Q2, (187)
Видно, что при ω c= ω a из (187) следует формула (177), т.е. вероятность возрастает в Q раз ( λ 3∼ Ω). Но из (187) также следует, что при наличии расстройки между ω c и ω a спонтанное излучение сильно подавляется. Так, при ω a- ω c∼ ω c вероятность уменьшается по сравнению с резонансным случаем в Q 2 раз по сравнению с вероятностью спонтанного излучения в свободном пространстве - в Q раз ( λ 3∼ Ω).

Спектр излучения атома имеет лоренцовский профиль с шириной γ=Re αc. В противоположном случае |Ua| > > γc спектральное распределение состоит из двух пиков с полушириной γ, сдвинутых относительно центра ω c на расстояние ±|U α|. Физическая интерпретация этого явления состоит в том, что при |Ua| > > γc фотон, испущенный атомом вновь им поглощается с большей вероятностью, чем стенкой. При ω a= ω c связанная система двух осцилляторов имеет два значения частот ωa ±|Ua|.

Предыдущий Взаимодействие излучения с атомами и молекулами Следующий