]> 3. 1. Вероятность излучения и поглощения фотона атомной системой в единицу времени
 
Домой Взаимодействие атомов с частицами и веществом>> Разделы Список литературы Обозначения Справочник


3.Взаимодействие излучения с атомами и молекулами

3.1.Вероятность излучения и поглощения фотона атомной системой в единицу времени

Предыдущий Взаимодействие излучения с атомами и молекулами Следующий

Взаимодействие электронов с электромагнитным полем будет учтено, если в гамильтониане атомной системы оператор импульса Pi^каждого из электронов, заменить разностью (Pi^-ecA^)обобщенного импульса ( A-векторный потенциал). В результате гамильтониан взаимодействующих атомной системы и поля имеет вид

H^=H^am+H^эм-emciP^iA^+e22m2c2A2^, (126)
где H^ATи H^EM- гамильтонианы невзаимодействующих атомной системы и поля соответственно, а два последних слагаемых характеризуют взаимодействие между этими системами; i - суммирование по всем электронам.

В работе [5] показан вывод вероятности излучения атома на основе классической формулы для интенсивности дипольного излучения двигающегося электрона. Строго говоря такой подход возможен (с учетом (123 - 125)) для переходов с большими квантовыми числами ΔWij < <Wi,Wj, когда в рамках принципа соответствия Бора матричные элементы, рассчитанные в квазиклассическом приближении, переходят в компоненты Фурье классических величин (см. § 48 [1]).

Однако полученная формула оказывается применима для любых переходов, т.е. в данном частном случае принцип соответствия оказывается справедливым в общем случае [4]. Здесь мы кратко рассмотрим вывод вероятности излучения, используя квантование электромагнитного поля, так называемое вторичное квантование. Подробнее с данной проблемой можно ознакомиться в литературе (см., напр. [4]).

Чтобы рассмотреть поле как квантовый объект, удобно исходить из такого классического описания поля, в котором оно характеризуется хотя и бесконечным, но дискретным набором переменных. Для этого заключим нашу атомную систему и поле в ящик объемом Ω так, что размеры этого ящика много больше любых других характерных размеров. Разложим векторный потенциал по плоским волнам

A=kuk, ρ[a*ke-i(kr- ωt)+akei(kr- ωt)], (127)
где u- единичный вектор, индекс ρ характеризует поляризацию волны, k и ω - волновой вектор и частота волны.

В отсутствие взаимодействия электромагнитное поле можно представить как набор невзаимодействующих гармонических осцилляторов, каждый из которых включает фотон с определенным волновым вектором k и частотой ω.

Действительно, перепишем (127) в виде

A=k(akeikr+ak*e-ikr), (128)
где коэффициенты ak зависят от времени по закону ake-i ωt, ортогональны к k, т.е. (kak)=0, что обусловлено поперечностью электромагнитной волны. Суммирование проводится по бесконечному дискретному набору волновых векторов (его трех компонент).

Введем канонические переменные для поля

Qk= Ω4 π(ak+a*k),
Pk=-i ω Ω4 π(ak-a*k)=dQkdt. (129)
Векторный потенциал запишется через канонические переменные
A=4 π ωk(Qkcoskr-1 ωPksinkr), (130)

Функция Гамильтона Hэм для электромагнитного поля

HEM= Ω8 π[(|E|2+|H|2)], (131)
где E=-1cAt, H=rotA, ω=kc. Выразив Eи Hиз (130) и подставив в (131), получим
H^=12k, ρ(Pk, ρ2+ ω2Qk, ρ2), (132)
Здесь и далее двухкомпонентные векторы Qkи Pkзаписываются в виде Qk, ρи Pk, ρ, где ρ=1, 2 - суммирование по двум компонентам векторов, лежащим в плоскости, перпендикулярной k.

Таким образом, гамильтониан распадается на сумму независимых членов, каждый из которых содержит только Qk, ρи Pk, ρ. Каждый такой член соответствует бегущей волне с определенными ω, kи поляризацией, причем имеет вид функции Гамильтона одномерного гармонического осциллятора. Поэтому о разложении (132) говорят, как о разложении поля на осцилляторы, рассматривая Pk, ρ как оператор импульса P^k, ρ=-iQk соответствующий нормальной координате Qk. Поскольку гамильтониан (132) распадается на сумму независимых слагаемых, то энергия электромагнитного поля равна сумме энергий гармонических осцилляторов

W=k,ρ ω(Nk, ρ+1/2), (133)
где Nk, ρ- целые числа, характеризующие число фотонов с заданными ω, kи поляризацией в объеме Ω.

В то же время, возвращаясь к выражению (127) для Aи вновь используя (131), гамильтониан поля можно записать в виде

H^EM= Ω4 πk, ρ(ak, ρa*k, ρ+a*k, ρak, ρ)k2, (134)

Волновая функция, описывающая состояние электромагнитного поля с Nk, ρ фотонами, должна иметь временную зависимость вида ΨNk, ρexp(-iWt), где энергия поля W (133) определяет зависимость волновой функции от числа фотонов Nk, ρ.

Вычислим среднее значение энергии и приравняем его выражению (133) для W:

Ψ*Nk, ρH^ ΨNk, ρd Τ= Ω4 πk ρk2Nk, ρ|(ak, ρa*k, ρ+a*k, ρak, ρ)|Nk, ρ==k, ρ ω(Nk, ρ+12)
Для матричного элемента находим
Nk, ρ|(ak, ρa*k, ρ+a*k, ρak, ρ)|Nk, ρ=2 πc2 ω Ω(2Nk, ρ+1), (135)

Индексы k, ρ в операторах ak, ρa*k, ρи Nk, ρмы в дальнейшем будем опускать и обозначать число фотонов Nω.

Операторы a^и a^*имеют смысл операторов рождения (излучения) и уничтожения (поглощения) фотонов. Как известно из теории гармонических осцилляторов [1, § 23], матричные элементы операторов Q^k, ρи P^k, ρ, а следовательно a^и a^*отличны от нуля только для переходов с изменением числа N ω, т.е. фактически при изменении числа фотонов на единицу. Действительно, вычислим матричный элемент

aN1,N2=N1|a^|N2= Ψ*N1a^ ΨN2d Τ.
Учитывая временную зависимость ake-i ωt, получим
aN1,N2ei ω(N1+1/2)te-i ωte-i ω(N2+1/2)td Τ.
Видно, что для того, чтобы матричный элемент не зависел от времени в случае оператора a^необходимо, чтобы конечное состояние поля содержало на один фотон данного сорта больше, чем начальное, а в случае оператора a^*, необходимо выполнение обратного соотношения. Иными словами, отличны от нуля матричные элементы вида a N,N+1 и a* N,N-1.

Используя свойства матриц (см. [1, § 11]), выражение (135), в котором присутствует матричный элемент произведения операторов, можно переписать в виде

(aN,N+1a*N+1,N+a*N,N-1aN-1,N)=2 πc2 ω Ω(2N ω+1), (136)

Данное выражение устанавливает связь матричных элементов с разными N, причем, учитывая эрмитовость матриц, получим

aN,N+1a*N+1,N=(aN,N+1)2,a*N,N-1aN-1,N=(aN,N-1)2
Примем N = 0, что соответствует нормальному состоянию осциллятора. Соответственно a* 0,-1 нужно считать тождественно равным нулю. Последовательное применение уравнения (135) с N ω= 0, 1, 2 … позволяет найти
aN,N+1=a*N+1,N=[2 πe2 ω Ω(N ω+1)]1/2, (137)

Вычислим вероятность Rejfизлучения фотона в единицу времени атомной системой с переходом ее из состояния j в состояние f [1, 5]

Rejf(N ωN ω+1)=2 π|j,N ω|V^|f,N ω+1|2gKOH, (138)
где V^- оператор возмущения, gкон - число состояний, приходящихся на единичный интервал энергий в конечном состоянии. Выражение (138) получено с учетом выполнения закона сохранения энергии ω=Wj-Wf. Учитывая, что временная зависимость волновой функции фотонов в стационарном состоянии имеет вид exp(-i ε ωt), где ε ω - полная энергия данного состояния с частотой ω, равная ε ω= ω(N ω+1/2), а оператор возмущения
V^=-emck, ρuk, ρP^[akei(kr- ωt)+a*ke-i(kr- ωt)],
где P^- оператор импульса отдельного электрона, из (138) получим
Rejf(N ωN ω+1)=(2 πem)21 ω Ω(N ω+1)|( ρu ρP^eikr)jf|2gKOH(139)

Согласно (125) kr < <1, что позволяет экспоненту eikrзаменить единицей. Тогда, учитывая, что V/c<<1, имеем

P=mV=-i ωmr=-i ωemd, (140)
где d=er- дипольный момент атома.

Из (139) с учетом (140) получим

Rejf(N ωN ω+1)=4 π2 ω Ω| ρ(u ρd)jf|2(N ω+1)gKOH
Если конечным состоянием атомной системы является состояние дискретного спектра со статистическим весом gf , то [5]
gKOH=gf Ω(2 π)3dkd ε=gf Ω ω2dO(2 πc)3, (141)
где dO- элемент телесного угла, характеризующий направление вектора k. Усредняя по величине угла между векторами dи u и суммируя по двум поляризациям, для случая неполяризованного света получим окончательное выражение для вероятности излучения фотона
Rejf(N ωN ω+1)=4 ω33c3(N ω+1)|djf|2gf, (142)
Подобным образом можно найти вероятность поглощения фотона
Rejf(N ω+1N ω)=4 ω33c3N ω|dfj|2gj, (143)
Очевидно, что при Nω = 0 из (142) мы получаем вероятность спонтанного излучения атома.
Предыдущий Взаимодействие излучения с атомами и молекулами Следующий